Hej tamo! Kao dobavljač mnogobrojnih, često me pitaju o svim vrstama tehničkih stvari vezanih za razvodnike. Jedno pitanje koje se prilično pojavljuje je: "Koje su homotopske skupine razvodnika?" Pa, zaronimo pravo i razbijte to na način koji je lako razumljiv.
Prvo, razgovarajmo o tome što je razdjelnik. Jednostavno rečeno, razdjelnik je maštovit matematički objekt koji lokalno izgleda poput euklidskog prostora. Zamislite to kao na površinu na koju možete hodati, ali ona se može zakriviti i uvrnuti na sve vrste načina. Na primjer, sfera je 2 -dimenzionalni razdjelnik. Možete uzeti malu flasteru na sferi, a ako zumirate dovoljno blizu, izgledat će kao ravan komad papira (koji je 2 - dimenzionalni euklidski prostor).
Sada su homotopske skupine način da se proučavaju "rupe" i "zavoje" u razvodniku. Najpoznatija homotopska skupina je temeljna skupina koja je označena kao $ \ pi_1 $. Temeljna skupina govori o jednoj - dimenzionalnim rupama u razvodniku. Recimo da ste u razdjelniku i krenete u točki, hodate okolo u petlji i vratite se u istu točku. Temeljna skupina klasificira ove petlje do određenog odnosa ekvivalencije koja se naziva homotopijom.
Što znači "do homotopije"? Pa, dvije su petlje homotopične ako možete kontinuirano deformirati jednu petlju u drugu, a da je ne razbijete ili premjestite početne i krajnje točke. Na primjer, na sferi se bilo koja petlja može smanjiti na jednu točku. Dakle, temeljna skupina sfere, $ \ pi_1 (s^2) $, je trivijalna, što znači da ima samo jedan element (klasa ekvivalencije petlje koja samo ostaje u jednoj točki).
Ali što je s višim - dimenzionalnim homotopijskim skupinama? $ N $ - Th homotopy grupa, $ \ pi_n $, govori vam o rupama $ n $ - dimenzionalnim rupama u razvodniku. Na primjer, $ \ pi_2 $ je oko 2 - dimenzionalne rupe. Možete razmišljati o 2 -dimenzionalnoj rupi kao nešto poput mjehurića u 3 -D prostoru.
Izračunavanje homotopijskih skupina može biti prava bol u vratu. U stvari, za većinu mnogobroja, izuzetno je teško pronaći sve njihove homotopijske skupine. Ali postoje neki slučajevi u kojima to možemo relativno lako. Jedan od najpoznatijih rezultata je za $ n $ - sferu, $ s^n $. Znamo da je $ \ pi_k (s^n) $ trivijalni (tj. Samo jedan element) kada je $ k <n $, osim kada je $ k = 0 $. 0 - Th homotopska grupa, $ \ pi_0 $, samo vam govori o povezanim komponentama razvodnika. Ako je razdjelnik spojen (možete dobiti od bilo koje točke do bilo koje druge točke hodajući stazom na razvodniku), tada je $ \ pi_0 $ trivijalno.
Kad je $ k = n $, $ \ pi_n (s^n) $ izomorfni za cijeli brojevi $ \ mathbb {z} $. To znači da $ n $ - dimenzionalne petlje na sferi $ n $ - može klasificirati cijeli broj. O ovom cijelom broju možete smatrati koliko puta "omotate" oko sfere u smislu $ n $ - dimenzionalnog smisla.
Zašto bismo se brinuli o homotopijskim skupinama? Pa, oni su super važni u mnogim područjima matematike i fizike. Na primjer, u fizici, homotopske skupine mogu se koristiti za razumijevanje topologije prostora - vremenskog razdjelnika. Oni nam također mogu pomoći da proučimo ponašanje čestica i polja u različitim topološkim okruženjima.
U svijetu mnogostrukih, imamo i nekoliko hladnih odnosa između različitih homotopijskih skupina. Jedan od najpoznatijih je teorem Hurewicz. Teorem Hurewicz daje vezu između homotopijskih skupina i homoloških skupina razvodnika. Homološke skupine su još jedan način proučavanja rupa u razvodniku, ali u nekim su slučajevima malo lakše izračunati. Teorem Hurewicz kaže da su pod određenim uvjetima prva ne -trivijalna homotopijska skupina i prva ne -trivijalna homološka skupina izomorfna.
Kao dobavljač mnogobrojnih, bavim se svim vrstama mnogobrojnih u stvarnom svijetu. Bilo da se radi o električnim primjenama ili drugim industrijskim namjenama, razumijevanje topoloških svojstava poput homotopijskih skupina može biti zaista korisno. Na primjer, u električnim sustavima često koristimo razdjelnike za potrebe ožičenja i povezivanja. Odličan proizvod u tom pogledu jeTerminal za ožičenje bakra. Ti su terminali bitan dio mnogih električnih razvodnika, pružajući pouzdan i učinkovit način povezivanja žica.
Kada dizajniramo i proizvodimo razvodnike, moramo uzeti u obzir ne samo fizička svojstva, već i topološka. Homotopijske skupine mogu nam dati uvid u to kako se razdjelnik ponaša u različitim situacijama. Na primjer, ako razdjelnik ima ne -trivijalne homotopijske skupine, to može značiti da postoje neke "skrivene" topološke značajke koje bi mogle utjecati na protok električne energije ili drugih tvari kroz razvodnik.
Pogledajmo neke primjere razdjelnika koje obično opskrbljujemo. Jedan od najosnovnijih je torus, $ t^2 $. Torus je poput oblika krafne. Njegova temeljna skupina, $ \ pi_1 (t^2) $, izomorfna je do $ \ mathbb {z} \ Times \ mathbb {z} $. To znači da na torusu postoje dvije neovisne vrste petlji. Možete imati petlju koja ide oko rupe krafne i još jednu petlju koja obilazi tijelo krafne. Te se dvije petlje ne mogu kontinuirano deformirati jedna u drugu.
Drugi zanimljiv razdjelnik je projektivni ravnina, $ \ mathbb {r} p^2 $. Temeljna skupina projektivne ravnine, $ \ pi_1 (\ mathbb {r} p^2) $, je $ \ mathbb {z}/2 \ mathbb {z} $. To znači da postoje dvije klase ekvivalentnosti petlja: jedna koja se može smanjiti do točke, a druga koja se ne može smanjiti do točke, ali ako ga krenete dvaput, možete je smanjiti do točke.
Ako ste na tržištu za razdjelnike, bilo da se radi o istraživanjima, industrijskim aplikacijama ili bilo čemu drugom, razumijevanje homotopijskih skupina može vam pomoći u donošenju boljih odluka. Moći ćete odabrati pravu vrstu razvodnika na temelju njegovih topoloških svojstava. I tu dolazimo. Kao dobavljač mnogobrojnih, imamo na raspolaganju širok raspon razvodnika, svaki sa svojim jedinstvenim setom svojstava.
Uvijek smo rado pomogli da shvatite koji razdjelnik najbolje odgovara vašim potrebama. Bez obzira jeste li matematičar koji traži određenu vrstu razdjelnika za istraživanje ili inženjera koji je potreban razdjelnik za industrijski projekt, pokrili smo vas. Ako ste zainteresirani da saznate više o našim proizvodima ili imate bilo kakvih pitanja o mnogostrukim i njihovim homotopijskim grupama, ne ustručavajte se pružiti ruku. Možemo razgovarati o vašim zahtjevima i pronaći savršen razdjelnik za vas.
Dakle, ako razmišljate o kupovini razvodnika, samo nam ispustite crtu. Tu smo kako bismo bili sigurni da ste dobili najbolji proizvod za svoju prijavu. I tko zna, možda će vam razumijevanje malo o homotopijskim grupama dati prednost u vašem projektu.
Reference
- Hatcher, Allen. "Algebarska topologija." Cambridge University Press, 2002.
- Milnor, John W. "Topologija s različitog stajališta." Princeton University Press, 1997.
